二乗可積分な関数の定義に複素共役が使われる理由を解き明かす
はじめに 数学や物理学で頻繁に登場する「二乗可積分な関数」は、関数解析や量子力学の基盤となる重要な概念です。しかし、その定義を見ると、複素数値関数の場合に複素共役が現れることに疑問を持ったことはないでしょうか。なぜわざわ …
微分演算子を導入することで微分方程式を代数操作に置き換える方法
はじめに 微分方程式は、物理学や工学、経済学などの多くの分野で現れる重要な数学的手法です。しかし、その解法は一般に複雑であり、特に高階の微分方程式や非線形微分方程式になると、解析的な解を求めることが困難になります。しかし …
無限次元のベクトルとしての関数 – ヒルベルト空間と関数解析入門
はじめに 数学において、ベクトルは空間内の点や大きさと方向を持つ量として扱われます。しかし、ベクトルという概念は有限次元の空間に限らず、無限次元の空間にも拡張できます。その無限次元空間におけるベクトルとして「関数」を捉え …
オイラーの公式とベクトル空間の意外な共通点を探る
はじめに 数学の世界では、異なる分野の概念や定理が思わぬ形で結びついていることがよくあります。オイラーの公式は複素解析やフーリエ解析で重要な役割を果たし、一方でベクトル空間は線形代数学の基礎を成しています。本記事では、こ …
矩形波で学ぶ「ほとんど至る所（almost everywhere）」の概念
はじめに 「ほとんど至る所（almost everywhere）」という言葉は、測度論やルベーグ積分論でよく登場する重要な概念です。ざっくり言うと、ある性質が「ほとんど至る所」で成り立つとは、「例外となる点の集合の測度が …
負の数のかけ算がプラスになる理由をフーリエ級数から考える
はじめに 私たちは学校で、「負の数 を 2 回かけるとプラス になる」と習います。つまり、 という事実です。これは代数的なルールとしては馴染み深いものですが、実際になぜこうなるのか、違った視点——たとえばフーリエ級数や複 …